信息在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)形式
人類(lèi)用文字、圖表、數(shù)字表達(dá)和記錄著世界上各種各樣的信息，便于人們用來(lái)處理和交流。現(xiàn)在可以把這些信息都輸入到計(jì)算機(jī)中，由計(jì)算機(jī)來(lái)保存和處理。前面提到，當(dāng)代馮·諾依曼型計(jì)算機(jī)都使用二進(jìn)制來(lái)表示數(shù)據(jù)，本節(jié)所要討論的就是用二進(jìn)制來(lái)表示這些 數(shù)據(jù)。
1.4.1 計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)
經(jīng)過(guò)收集、整理和組織起來(lái)的數(shù)據(jù)，能成為有用的信息。數(shù)據(jù)是指能夠輸入計(jì)算機(jī)并被計(jì)算機(jī)處理的數(shù)字、字母和符號(hào)的集合。平常所看到的景象和聽(tīng)到的事實(shí)，都可以用數(shù)據(jù)來(lái)描述�？梢哉f(shuō)，只要計(jì)算機(jī)能夠接受的信息都可叫數(shù)據(jù)。
1．計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的單位
計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)的表示經(jīng)常用到以下幾個(gè)概念。在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，數(shù)據(jù)都是以二進(jìn)制的形式存儲(chǔ)和運(yùn)算的。
（1）位
二進(jìn)制數(shù)據(jù)中的一個(gè)位（bit）簡(jiǎn)寫(xiě)為b，音譯為比特，是計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的zui小單位。一個(gè)二進(jìn)制位只能表示0或1兩種狀態(tài)，要表示更多的信息，就要把多個(gè)位組合成一個(gè)整體，一般以8位二進(jìn)制組成一個(gè)基本單位。
（2）字節(jié)
字節(jié)是計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理的zui基本單位，并主要以字節(jié)為單位解釋信息。字節(jié)（Byte）簡(jiǎn)記為B，規(guī)定一個(gè)字節(jié)為8位，即1B=8bit。每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位組成。一般情況下，一個(gè)ASCII碼占用一個(gè)字節(jié)，一個(gè)漢字國(guó)際碼占用兩個(gè)字節(jié)。
（3）字
一個(gè)字通常由一個(gè)或若干個(gè)字節(jié)組成。字（Word）是計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，一次存取、加工和傳送的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。由于字長(zhǎng)是計(jì)算機(jī)一次所能處理信息的實(shí)際位數(shù)，所以，它決定了計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理的速度，是衡量計(jì)算機(jī)性能的一個(gè)重要指標(biāo)，字長(zhǎng)越長(zhǎng)，性能越好。
（4）數(shù)據(jù)的換算關(guān)系
1Byte=8bit，1KB=1024B，1MB=1024KB，1GB=1024MB。
計(jì)算機(jī)型號(hào)不同，其字長(zhǎng)是不同的，常用的字長(zhǎng)有8、16、32和64位。一般情況下，IBM PC/XT的字長(zhǎng)為8位，80286微機(jī)字長(zhǎng)為16位，80386/80486微機(jī)字長(zhǎng)為32位，Pentium系列微機(jī)字長(zhǎng)為64位。
例如，一臺(tái)微機(jī)，內(nèi)存為256MB，軟盤(pán)容量為1.44MB，硬盤(pán)容量為80GB，則它實(shí)際的存儲(chǔ)字節(jié)數(shù)分別為：
內(nèi)存容量=256×1024×1024B=268435456B
軟盤(pán)容量=1.44×1024×1024B=1509949.44B
硬盤(pán)容量=80×1024×1024×1024B=85899345920B
如何表示正負(fù)和大小，在計(jì)算機(jī)中采用什么計(jì)數(shù)制，是學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)的一個(gè)重要問(wèn)題。數(shù)據(jù)是計(jì)算機(jī)處理的對(duì)象，在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，各種信息都必須通過(guò)數(shù)字化編碼后才能進(jìn)行存儲(chǔ)和處理。
由于技術(shù)原因，計(jì)算機(jī)內(nèi)部一律采用二進(jìn)制，而人們?cè)诰幊讨薪?jīng)常使用十進(jìn)制，有時(shí)為了方便還采用八進(jìn)制和十六進(jìn)制。理解不同計(jì)數(shù)制及其相互轉(zhuǎn)換是非常重要的。
2．進(jìn)位計(jì)數(shù)制
在計(jì)算機(jī)中，二進(jìn)制并不符合人們的習(xí)慣，但是計(jì)算機(jī)內(nèi)部卻采用二進(jìn)制表示信息，其主要原因有如下4點(diǎn)：
（1）電路簡(jiǎn)單
在計(jì)算機(jī)中，若采用十進(jìn)制，則要求處理10種電路狀態(tài)，相對(duì)于兩種狀態(tài)的電路來(lái)說(shuō)，是很復(fù)雜的。而用二進(jìn)制表示，則邏輯電路的通、斷只有兩個(gè)狀態(tài)。例如：開(kāi)關(guān)的接通與斷開(kāi)，電平的高與低等。這兩種狀態(tài)正好用二進(jìn)制的0和1來(lái)表示。
（2）工作可靠
在計(jì)算機(jī)中，用兩個(gè)狀態(tài)代表兩個(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)字傳輸和處理方便、簡(jiǎn)單、不容易出錯(cuò)，因而電路更加可靠。
（3）簡(jiǎn)化運(yùn)算
在計(jì)算機(jī)中，二進(jìn)制運(yùn)算法則很簡(jiǎn)單。例如：相加減的速度快，求積規(guī)則有3個(gè)，求和規(guī)則也只有3個(gè)。
（4）邏輯性強(qiáng)
二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼，正好代表邏輯代數(shù)中的“真”與“假”，而計(jì)算機(jī)工作原理是建立在邏輯運(yùn)算基礎(chǔ)上的，邏輯代數(shù)是邏輯運(yùn)算的理論依據(jù)。用二進(jìn)制計(jì)算具有很強(qiáng)的邏 輯性。
1.4.2 計(jì)算機(jī)中常用的幾種計(jì)數(shù)制
用若干數(shù)位（由數(shù)碼表示）的組合去表示一個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位之間是什么關(guān)系，即逢“幾”進(jìn)位，這就是進(jìn)位計(jì)數(shù)制的問(wèn)題。也就是數(shù)制問(wèn)題。數(shù)制，即進(jìn)位計(jì)數(shù)制，是人們利用數(shù)字符號(hào)按進(jìn)位原則進(jìn)行數(shù)據(jù)大小計(jì)算的方法。通常是以十進(jìn)制來(lái)進(jìn)行計(jì)算的。另外，還有二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制等。
在計(jì)算機(jī)的數(shù)制中，要掌握3個(gè)概念，即數(shù)碼、基數(shù)和位權(quán)。下面簡(jiǎn)單地介紹這3個(gè)概念。
數(shù)碼：一個(gè)數(shù)制中表示基本數(shù)值大小的不同數(shù)字符號(hào)。例如，八進(jìn)制有8個(gè)數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7。
基數(shù)：一個(gè)數(shù)值所使用數(shù)碼的個(gè)數(shù)。例如，八進(jìn)制的基數(shù)為8，二進(jìn)制的基數(shù)為2。
位權(quán)：一個(gè)數(shù)值中某一位上的1所表示數(shù)值的大小。例如，八進(jìn)制的123，1的位權(quán)是64，2的位權(quán)是8，3的位權(quán)是1。
1．十進(jìn)制（Decimal notation）
十進(jìn)制的特點(diǎn)如下：
（1）有10個(gè)數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
（2）基數(shù)：10。
（3）逢十進(jìn)一（加法運(yùn)算），借一當(dāng)十（減法運(yùn)算）。
（4）按權(quán)展開(kāi)式。對(duì)于任意一個(gè)n位整數(shù)和m位小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)D，均可按權(quán)展 開(kāi)為：
D=Dn-1·10n-1＋Dn-2·10n-2＋…＋D1·101＋D 0·10 0＋D -1·10 –1＋…＋D –m·10 –m
例：將十進(jìn)制數(shù)456.24寫(xiě)成按權(quán)展開(kāi)式形式為：
456.24=4×10 2＋5×101＋6×100＋2×10-1＋4×10-2
2．二進(jìn)制（Binary notation）
二進(jìn)制有如下特點(diǎn)：
（1）有兩個(gè)數(shù)碼：0、1。
（2）基數(shù)：2。
（3）逢二進(jìn)一（加法運(yùn)算），借一當(dāng)二（減法運(yùn)算）。
（4）按權(quán)展開(kāi)式。對(duì)于任意一個(gè)n位整數(shù)和m位小數(shù)的二進(jìn)制數(shù)D，均可按權(quán)展 開(kāi)為：
D=Bn-1·2n-1＋Bn-2·2n-2＋…＋B1·21＋B0·20＋B-1·2–1＋…＋B–m·2-m
例：把（11001.101）2寫(xiě)成展開(kāi)式，它表示的十進(jìn)制數(shù)為：
1×2 4＋1×2 3＋0×22＋0×21＋1×20＋1×2-1＋0×2-2＋1×2-3=（25.625）10
3．八進(jìn)制（Octal notation）
八進(jìn)制的特點(diǎn)如下：
（1）有8個(gè)數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7。
（2）基數(shù)：8。
（3）逢八進(jìn)一（加法運(yùn)算），借一當(dāng)八（減法運(yùn)算）。
（4）按權(quán)展開(kāi)式。對(duì)于任意一個(gè)n位整數(shù)和m位小數(shù)的八進(jìn)制數(shù)D，均可按權(quán)展 開(kāi)為：
D=On-1·8n-1＋…＋O1·81＋O0·80＋O-1·8 –1＋…＋O–m·8-m
例：（5346）8相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)為：
5×83＋3×82＋4×81＋6×80＝（2790）10
4．十六進(jìn)制（Hexadecimal notation）
十六進(jìn)制有如下特點(diǎn)：
（1）有16個(gè)數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。
（2）基數(shù)：16。
（3）逢十六進(jìn)一（加法運(yùn)算），借一當(dāng)十六（減法運(yùn)算）。
（4）按權(quán)展開(kāi)式。對(duì)于任意一n位整數(shù)和m位小數(shù)的十六進(jìn)制數(shù)Ｄ，均可按權(quán)展 開(kāi)為：
D=Hn-1·16n-1＋…＋H1·161＋H 0·16 0＋H -1·16 –1＋…＋H –m·16 -m
在16個(gè)數(shù)碼中，A、B、C、D、E和F這6個(gè)數(shù)碼分別代表十進(jìn)制的10、11、12、13、14和15，這是國(guó)際上通用的表示法。
例：十六進(jìn)制數(shù)（4C4D）16代表的十進(jìn)制數(shù)為：
4×163＋C×16 2＋4×161＋D×160=（19533）10
二進(jìn)制數(shù)與其他數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1-1所示。
表1-1 幾種常用進(jìn)制之間的對(duì)照關(guān)系
|
十 進(jìn) 制 |
二 進(jìn) 制 |
八 進(jìn) 制 |
十 六 進(jìn) 制 |
|
0 |
0000 |
0 |
0 |
|
1 |
0001 |
1 |
1 |
|
2 |
0010 |
2 |
2 |
|
3 |
0011 |
3 |
3 |
|
4 |
0100 |
4 |
4 |
|
5 |
0101 |
5 |
5 |
|
6 |
0110 |
6 |
6 |
|
7 |
0111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
A |
|
11 |
1011 |
13 |
B |
|
12 |
1100 |
14 |
C |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
1.4.3 常用計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換
不同數(shù)進(jìn)制之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換應(yīng)遵循轉(zhuǎn)換原則。轉(zhuǎn)換原則是：兩個(gè)有理數(shù)如果相等，則有理數(shù)的整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分一定分別相等。也就是說(shuō)，若轉(zhuǎn)換前兩數(shù)相等，轉(zhuǎn)換后仍必須相等，數(shù)制的轉(zhuǎn)換要遵循一定的規(guī)律。
1．二、八、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)
（1）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)
將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，只要將二進(jìn)制數(shù)用計(jì)數(shù)制通用形式表示出來(lái)，計(jì)算出結(jié)果，便得到相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。
例：（1101100.111）2=1×26＋1×25＋1×23＋1×22＋1×2-1＋1×2-2＋1×2-3
=64＋32＋8＋4＋0.5＋0.25＋0.125
=（108.875）10
（2）八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)
八進(jìn)制數(shù)→十進(jìn)制數(shù)：以8為基數(shù)按權(quán)展開(kāi)并相加。
例：把（652.34）8轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制。
解：（652.34）8=6×82＋5×81＋2×80＋3×8-1＋4×8-2
=384＋40＋2＋0.375＋0.0625
=（426.4375）10
（3）十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)
十六進(jìn)制數(shù)→十進(jìn)制數(shù)：以16為基數(shù)按權(quán)展開(kāi)并相加。
例：將（19BC.8）16轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。
解：（19BC.8）16=1×163＋9×162＋B×161＋C×160＋8×16-1
=4096＋2304＋176＋12＋0.5
=（6588.5）10
2．十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)
（1）整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換
整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換采用的是除2取余法。其轉(zhuǎn)換原則是：將該十進(jìn)制數(shù)除以2，得到一個(gè)商和余數(shù)（K0），再將商除以2，又得到一個(gè)新商和余數(shù)（K1），如此反復(fù)，得到的商是0時(shí)得到余數(shù)（Kn-1），然后將所得到的各位余數(shù)，以zui后余數(shù)為zui高位，zui初余數(shù)為zui低位依次排列，即Kn-1Kn-2…K1K0，這就是該十進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。這種方法又稱(chēng)為“倒 序法”。
例：將（126）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。
結(jié)果為：（126）10＝（1111110）2
（2）小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換
小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換采用乘2取整法。其轉(zhuǎn)換原則是：將十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)乘以2，取乘積中的整數(shù)部分作為相應(yīng)二進(jìn)制數(shù)小數(shù)點(diǎn)后zui高位K-1，反復(fù)乘2，逐次得到K-2、K-3、…、K-m，直到乘積的小數(shù)部分為0或1的位數(shù)達(dá)到精確度要求為止。然后把每次乘積的整數(shù)部分由上而下依次排列起來(lái)（K-1K-2…K-m），即是所求的二進(jìn)制數(shù)。這種方法又稱(chēng)為“順序法”。
例：將十進(jìn)制數(shù)（0.534）10轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。
結(jié)果為：（0.534）10＝（0.10001）2
例：將（50.25）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。
分析：對(duì)于這種既有整數(shù)又有小數(shù)部分的十進(jìn)制數(shù)，可將其整數(shù)和小數(shù)分別轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，然后再把兩者連接起來(lái)即可。
因?yàn)椋?0）10=（110010）2，（0.25）10=（0.01）2
所以（50.25）10＝（110010.01）2
3．八進(jìn)制與二進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換
（1）八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)
八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)所使用的轉(zhuǎn)換原則是“一位拆三位”，即把一位八進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于三位二進(jìn)制數(shù)，然后按順序連接即可。
例：將（64.54）8轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。
6 4 . 5 4
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
110 100 . 101 100
結(jié)果為：（64.54）8＝（110100.101100）2
（2）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)
二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)可概括為“三位并一位”，即從小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始向左右兩邊以每三位為一組，不足三位時(shí)補(bǔ)0，然后每組改成等值的一位八進(jìn)制數(shù)即可。
例：將（110111.11011）2轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。
110 111 . 110 110
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
6 7 . 6 6
結(jié)果為：（110111.11011）2＝（67.66）8
4．二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換
（1）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)
二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換原則是“四位并一位”，即以小數(shù)點(diǎn)為界，整數(shù)部分從右向左每4位為一組，若zui后一組不足4位，則在zui高位前面添0補(bǔ)足4位，然后從左邊第yi組起，將每組中的二進(jìn)制數(shù)按權(quán)數(shù)相加得到對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)，并依次寫(xiě)出即可；小數(shù)部分從左向右每4位為一組，zui后一組不足4位時(shí)，尾部用0補(bǔ)足4位，然后按順序?qū)懗雒拷M二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)。
例：將（1111101100.0001101）2轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。
0011 1110 1100 . 0001 1010
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
3 E C . 1 A
結(jié)果為：（1111101100.0001101）2＝（3EC.1A）16
（2）十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)
十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換原則是“一位拆四位”，即把1位十六進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的4位二進(jìn)制數(shù)，然后按順序連接即可。
例：將（C41.BA7）16轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。
C 4 1 . B A 7
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1100 0100 0001 . 1011 1010 0111
結(jié)果為：（C41.BA7）16＝（110001000001.101110100111）2
在程序設(shè)計(jì)中，為了區(qū)分不同進(jìn)制，常在數(shù)字后加一英文字母作為后綴以示區(qū)別。
l 十進(jìn)制數(shù)，在數(shù)字后面加字母D或不加字母也可以，如6659D或6659。
l 二進(jìn)制數(shù)，在數(shù)字后面加字母B，如1101101B。
l 八進(jìn)制數(shù)，在數(shù)字后面加字母O，如1275O。
l 十六進(jìn)制數(shù)，在數(shù)字后面加字母H，如CFE7BH。
1.4.4 二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算。
1．二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算包括加法、減法、乘法和除法運(yùn)算。
（1）二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算法則是：0＋0＝0，0＋1＝1＋0＝1，1＋1＝10（向高位進(jìn)位）。
例：求（101101.10001）2＋（1011.11001）2的值。
解： 1 0 1 1 0 1 . 1 0 0 0 1
＋ 1 0 1 1 . 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 . 0 1 0 1 1
結(jié)果為：（101101.10001）2＋（1011.11001）2 =（111001.01011）2
總結(jié)：從以上加法的過(guò)程可知，當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)相加時(shí)，每一位是3個(gè)數(shù)相加，對(duì)本位則是把被加數(shù)、加數(shù)和來(lái)自低位的進(jìn)位相加（進(jìn)位可能是0，也可能是1）。
（2）二進(jìn)制數(shù)的減法運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)的減法運(yùn)算法則是：0－0＝1－1＝0，1－0＝1，0－1＝1（借1當(dāng)二）。
例：求（110000.11）2－（001011.01）2的值。
解： 1 1 0 0 0 0 . 1 1
－ 0 0 1 0 1 1 . 0 1
1 0 0 1 0 1 . 1 0
結(jié)果為：（110000.11）2－（001011.01）2＝（100101.10）2
總結(jié)：從以上運(yùn)算過(guò)程可知，當(dāng)兩數(shù)相減時(shí)，有的位會(huì)發(fā)生不夠減的情況，要向相鄰的高位借1當(dāng)2。所以，在做減法時(shí)，除了每位相減外，還要考慮借位情況，實(shí)際上每位有3個(gè)數(shù)參加運(yùn)算。
（3）二進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算法則是：0×0＝0，0×1＝1×0＝0，1×1＝1。
例：求（1010）2×（1011）2的值。
解： 1 0 1 0
× 1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 0
＋ 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1 0
結(jié)果為：（1010）2×（1011）2＝（1101110）2
總結(jié)：由以上運(yùn)算過(guò)程可知，當(dāng)兩數(shù)相乘時(shí)，每個(gè)部分積都取決于乘數(shù)。乘數(shù)的相應(yīng)位為1時(shí)，該次的部分積等于被乘數(shù)；為0時(shí)，部分積為0。每次的部分積依次左移一位，將各部分積累起來(lái)，就得到了zui終結(jié)果。
（4）二進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則是：0÷0＝0，0÷1＝0（1÷0無(wú)意義），1÷1＝1。
例：求（111101）2÷（1100）2的值。
解： 1 0 1
1100√ 1 1 1 1 0 1
－ 1 1 0 0
1 1 0 1
－ 1 1 0 0
1
結(jié)果為：商為101，余數(shù)為1。
總結(jié)：在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，二進(jìn)制的加法是基本運(yùn)算，利用加法可以實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的減法、乘法和除法運(yùn)算。在計(jì)算機(jī)的運(yùn)算過(guò)程中，應(yīng)用了“補(bǔ)碼”進(jìn)行運(yùn)算。
2．二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算
在計(jì)算機(jī)中，除了能表示正負(fù)、大小的“數(shù)量數(shù)”以及相應(yīng)的加、減、乘、除等基本算術(shù)運(yùn)算外，還能表示事物邏輯判斷，即“真”、“假”、“是”、“非”等“邏輯數(shù)”的運(yùn)算。能表示這種數(shù)的變量稱(chēng)為邏輯變量。在邏輯運(yùn)算中，都是用“1”或“0”來(lái)表示“真”或“假”，由此可見(jiàn)，邏輯運(yùn)算是以二進(jìn)制數(shù)為基礎(chǔ)的。
計(jì)算機(jī)的邏輯運(yùn)算區(qū)別于算術(shù)運(yùn)算的主要特點(diǎn)是：邏輯運(yùn)算是按位進(jìn)行的，位與位之間不像加減運(yùn)算那么有進(jìn)位或借位的關(guān)系。
邏輯運(yùn)算主要包括的運(yùn)算有：邏輯加法（又稱(chēng)“或”運(yùn)算）、邏輯乘法（又稱(chēng)“與”運(yùn)算）和邏輯“非”運(yùn)算。此外，還有“異或”運(yùn)算。
（1）邏輯與運(yùn)算（乘法運(yùn)算）
邏輯與運(yùn)算常用符號(hào)“×”、“∧”或“&”來(lái)表示。如果A、B、C為邏輯變量，則A和B的邏輯與可表示成A×B=C、A∧B=Ｃ或A&B=C，讀作“A與B等于C”。一位二進(jìn)制數(shù)的邏輯與運(yùn)算規(guī)則如表1-2所示。
表1-2 與運(yùn)算規(guī)則
|
A |
B |
A∧B（C） |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
由表1-2可知，邏輯與運(yùn)算表示只有當(dāng)參與運(yùn)算的邏輯變量都取值為1時(shí)，其邏輯乘積才等于1，即一假必假，兩真才真。
這種邏輯與運(yùn)算在實(shí)際生活中有許多應(yīng)用，例如，計(jì)算機(jī)的電源要想接通，必須把實(shí)驗(yàn)室的電源總閘、USP電源開(kāi)關(guān)以及計(jì)算機(jī)機(jī)箱的電源開(kāi)關(guān)都接通才行。這些開(kāi)關(guān)是串在一起的，它們按照“與”邏輯接通。為了書(shū)寫(xiě)方便，邏輯與運(yùn)算的符號(hào)可以略去不寫(xiě)（在不致混淆的情況下），即A×B=A∧B=AB。
例：設(shè)A＝1110011，B＝1010101，求A∧B。
解：
1 1 1 0 0 1 1
∧ 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 1
結(jié)果為：A∧B＝1010001。
（2）邏輯或運(yùn)算（加法運(yùn)算）
邏輯或運(yùn)算通常用符號(hào)“＋”或“ ”來(lái)表示。如果A、B、C為邏輯變量，則A和B的邏輯或可表示成A＋B=C或A B=C，讀作“A或B等于C”。其運(yùn)算規(guī)則如表1-3 所示。
表1-3 或運(yùn)算規(guī)則
|
A |
B |
A V B（C） |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
由表1-3可知，邏輯或運(yùn)算是：在給定的邏輯變量中，A或B只要有一個(gè)為1，其邏輯或的值為1；只有當(dāng)兩者都為0，邏輯或才為0。即一真必真，兩假才假。
這種邏輯或運(yùn)算在實(shí)際生活中有許多應(yīng)用，例如，房間里有一盞燈，裝了兩個(gè)開(kāi)關(guān)，這兩個(gè)開(kāi)關(guān)是并聯(lián)的。顯然，任何一個(gè)開(kāi)關(guān)接通或兩個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)接通，電燈都會(huì)亮。
例：設(shè)Ａ＝11001110，B=10011011，求A B。
解： 1 1 0 0 1 1 1 0
＋ 1 0 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
結(jié)果為：A B＝11011111。
（3）邏輯非運(yùn)算（邏輯否定、邏輯求反）
設(shè)A為邏輯變量，則A的邏輯非運(yùn)算記作 。邏輯非運(yùn)算的規(guī)則為：如果不是0，則惟一的可能性就是1；反之亦然。邏輯非運(yùn)算的真值表如表1-4所示。
表1-4 非運(yùn)算規(guī)則
例如，室內(nèi)的電燈，不是亮，就是滅，只有兩種可能性。
例：設(shè)A＝111011001，B=110111101，求 、 。
解： ＝000100110， ＝001000010。
（4）邏輯異或運(yùn)算（半加運(yùn)算）
邏輯異或運(yùn)算符為“ ”。如果A、B、C為邏輯變量，則A和Ｂ的邏輯異或可表示成A B＝C，讀作“A異或B等于C”。邏輯異或的運(yùn)算規(guī)則如表1-5所示。
表1-5 邏輯異或的運(yùn)算規(guī)則
|
A |
B |
A B（C） |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
由表1-5可知，在給定的兩個(gè)邏輯變量中，只有兩個(gè)邏輯變量取值相同，異或運(yùn)算的結(jié)果就為0；只有相異時(shí)，結(jié)果才為1。即一樣時(shí)為0，不一樣才為1。
例：設(shè)A＝11010011，B＝10110111，求A B。
解： 1 1 0 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0 0
結(jié)果為：A B＝01100100。
當(dāng)兩個(gè)變量之間進(jìn)行邏輯運(yùn)算時(shí)，只在對(duì)應(yīng)位之間按上述規(guī)律進(jìn)行邏輯運(yùn)算，不同位之間沒(méi)有任何關(guān)系，當(dāng)然，也就不存在算術(shù)運(yùn)算中的進(jìn)位或借位問(wèn)題。
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